🌹মাধ্যমিক গণিত:: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ:: প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা ও সূত্রাবলী।🌹

 

⭐ সমীকরণ ⭐

👉 সংজ্ঞা:
যে গাণিতিক বাক্যে সমান (=) চিহ্ন থাকে এবং যার দুই পাশের মান সমান হয়, তাকে সমীকরণ বলে।

---

📘 উদাহরণ

• (x + 5 = 10)

• (2x = 8)

• (x² + 3x + 2 = 0)

---

✏️ সমীকরণের অংশ

• চল রাশি: x, y ইত্যাদি

• ধ্রুবক রাশি: 2, 5, 10 ইত্যাদি

• সমান চিহ্ন: =

---

✅ সমীকরণের প্রকারভেদ

✔️ সরল সমীকরণ (ঘাত 1)
✔️ দ্বিঘাত সমীকরণ (ঘাত 2)
✔️ একচল / বহুচল সমীকরণ

---

১️⃣ চল রাশি (Variable)

👉 যে রাশির মান পরিবর্তিত হতে পারে তাকে চল রাশি বলে।

উদাহরণ:
x, y, a, b, t

🔹 যেমন:
x + 5 = 10 → এখানে x একটি চল রাশি

---

২️⃣ ধ্রুবক রাশি (Constant)

👉 যে রাশির মান সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে তাকে ধ্রুবক রাশি বলে।

উদাহরণ:
2, 5, 10, π, 7

🔹 যেমন:
x + 3 → এখানে 3 একটি ধ্রুবক রাশি

---

৩️⃣ দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

👉 যে সমীকরণে চল রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।

সাধারণ রূপ:
👉 ax² + bx + c = 0
(যেখানে a ≠ 0)

উদাহরণ:
x² + 5x + 6 = 0

---

⭐ একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ⭐

👉 সংজ্ঞা:
যে দ্বিঘাত সমীকরণে মাত্র একটি চল রাশি থাকে এবং চল রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।

---

📘 সাধারণ রূপ

👉 ax² + bx + c = 0
যেখানে—

• (x) = চল রাশি

• (a, b, c) = ধ্রুবক রাশি

• (a# 0)

---

✏️ উদাহরণ

• (x² + 5x + 6 = 0)

• (2x² - 3x + 1 = 0)

---

✅ গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

✔️ একটিমাত্র চল রাশি থাকে
✔️ চল রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2
✔️ সর্বোচ্চ দুটি সমাধান থাকতে পারে

---

📝 সমাধান নির্ণয়ের সূত্র(শ্রীধর আচার্যের সূত্র):

\[x = \frac{ - b \pm \sqrt{b²- 4ac}}{2a}\]

---

🔍নিরূপক বা বিচারক (Discriminant)

👉 (D = b²- 4ac)

• (D > 0) → দুটি ভিন্ন বাস্তব সমাধান

• (D = 0) → দুটি সমান বাস্তব সমাধান

• (D < 0) → কোনো বাস্তব সমাধান নেই

---

⭐ দ্বিঘাত সমীকরণে বীজ (Roots) সংক্রান্ত বিভিন্ন সূত্রাবলী ⭐

ধরা যাক, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

\[ax^2+bx+c=0 \quad (a\neq 0)\]
এবং এর দুইটি বীজ হল\[ (\alpha) ও (\beta)\]।

---

👉 ১. বীজ নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র (Quadratic Formula)

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

---

👉 ২. বীজের যোগফল (Sum of Roots)

\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\]

---

👉 ৩. বীজের গুণফল (Product of Roots)

\[\alpha\beta=\frac{c}{a}\]

---

👉 ৪. বীজের প্রকৃতি নির্ণয়ের সূত্র (Discriminant)

\[D=b^2-4ac\]

✔️ যদি (D>0) → বীজ দুটি বাস্তব ও ভিন্ন
✔️ যদি (D=0) → বীজ দুটি বাস্তব ও সমান
✔️ যদি (D<0) → বীজ দুটি কাল্পনিক।

---

👉 ৫. নতুন সমীকরণ গঠন (New Equation from Given Roots)

যদি বীজ দুটি α,β হয়, তবে সমীকরণ:
\[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]

---

গাণিতিক সূত্র

1️⃣ (a + b)²= a² + 2ab + b²

2️⃣ (a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

3️⃣ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)

4️⃣ বিক্রয়মূল্য (Selling Price, SP)
👉 লাভ হলে:

বিক্রয়মূল্য(SP)= ক্রয়মূল্য(CP) +লাভ
👉 ক্ষতি হলে:

বিক্রয়মূল্য (SP) =ক্রয়মূল্য(CP)-ক্ষতি

👉লাভ=ক্রয়মূল্য×লাভের হার(শতকরা লাভ) 

5️⃣ অনুকূলের বেগ (Downstream Speed)
👉 অনুকূলের বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ

6️⃣ প্রতিকূলের বেগ (Upstream Speed)
👉 প্রতিকূলের বেগ= নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ

7️⃣ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area)
👉ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য× প্রস্থ

8️⃣ ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা
👉 দুটি ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা = (2x - 1),(2x+1)

9️⃣ ক্রমিক যুগ্ম সংখ্যা
👉 দুটি ক্রমিক যুগ্ম সংখ্যা = x, (x+2)

🔟 ক্রমিক সংখ্যা (Natural Numbers)
👉 দুটি ক্রমিক সংখ্যা=x, (x+1)

---

<<<<<<<<<<<<<🌹 সমাপ্ত 🌹>>>>>>>>>>>>>